La storia di questa formula, a dispetto della sua semplicità, anche concettuale, è tuttavia inaspettatamente articolata e talvolta controversa.

L’argomento, infatti, sebbene appaia essere ampiamente consolidato dall’uso direi secolare, risulta in realtà essere affetto da non poca confusione, a causa delle diverse interpretazioni che nel corso del tempo si sono sovrapposte e stratificate (al riguardo vedasi rif. [4]).

Per chi ha studiato ingegneria nelle Università italiane si pone, innanzi tutto, un problema di denominazione. In Italia alla formula della tensione circonferenziale primaria nei gusci cilindrici si assegna il nome di “formula di Mariotte”; nella letteratura tecnica in lingua inglese alla stessa equazione si assegna invece il nome di “formula di Barlow”. Al di fuori dell’Italia, l’unica “formula di Mariotte” riconosciuta è quella dei gas compressi. Per quanto a me noto, ciò succede anche in Francia.

Risalendo alla sorgente, ossia al testo “Traité du mouvement des eaux” di Mariotte (1700), rif. [1] (>>), a pag. 348 si trova il seguente paragrafo: « II. Discours, De la force des Tuyaux de conduite, et de l’épaisseur qu’ils doivent avoir suivant leur matière et la hauteur des réservoirs », la cui lettura non offre nessuna formula, bensì solo la regola che segue: « I. Règle : Si la hauteur du réservoir est double, il y aura deux fois autant de poids d’eau, & par conséquence il faudra deux fois autant d’épaisseur de métal dans le tuyau afin qu’il y ait deux fois autant de parties à séparer. Si le diamètre du tuyau est 2 fois plus large, il faudra 2 fois plus d’épaisseur : car les mêmes parties du fer blanc ne feront pas plus chargées, & elles sont seulement doubles. ». Questa regola contiene in nuce alcuni degli elementi che compariranno nella formula, ma non in modo completo, poiché, per esempio, non è indicato il principio (l’equilibrio) e non si cita la resistenza del materiale.

dove: r indica il raggio interno, c la resistenza coesiva del materiale, x lo spessore e p la pressione interna.

La “formula di Barlow” nella forma corrente è stata ricavata da Goodman che, nel suo testo “Mechanics applied to Engineering – 1914”, rif. [5], applicando la cosiddetta teoria di Barlow ai tubi a parete spessa, ottiene la formula pr_o=f_it dove compare il raggio esterno,r_o, e la tensione circonferenziale, f_i, sul bordo interno.

Goodman ha ricavato questa equazione imponendo che la tensione circonferenziale sul bordo interno di un tubo a parete spessa fosse uguale alla tensione circonferenziale di un tubo a parete sottile, dove la tensione circonferenziale che si calcola è in realtà media e non puntuale. Per il tubo a parete sottile, l’equazione ricavata dallo stesso Goodman sulla base dell’equilibrio è la stessa riportata all’inizio di questo articolo, con il diametro o il raggio interno. Ciò impone che la tensione calcolata sia la media nello spessore. L’equivalenza di Goodman fa sì che, considerando invece la tensione sul bordo interno, nella formula del tubo spesso compaia il diametro esterno, dato che alla base della teoria adottata c’è il principio che la tensione circonferenziale ha valore in proporzione inversa al quadrato della posizione radiale (la tensione sul bordo interno sta alla tensione sul bordo esterno come il quadrato del raggio esterno sta al quadrato del raggio interno). Se Goodman avesse impostato l’equivalenza con il cilindro a parete sottile usando la tensione media del cilindro spesso (che è quella che soddisfa l’equilibrio), avrebbe ottenuto anche per il cilindro spesso la formula con il diametro interno. Queste considerazioni sono sviluppate in dettaglio nella memoria tecnica (Sulle formule di Barlow e di Mariotte) allegata a questo articolo (scaricabile da chi fosse interessato).

Nella letteratura tecnica (v. memoria allegata), si considerano tre formule di Barlow: con il diametro interno, con il diametro medio e con il diametro esterno (questa è la più diffusa). La formula di Barlow è generalmente ritenuta applicabile solo ai tubi a parete sottile (D/t > 20), perché perde di validità per i tubi a parete spessa. Affermazione, questa, la cui veridicità dipende dal diametro utilizzato per la sua applicazione e da come si intende classificare e usare la tensione ottenuta; infatti:

Si osserva che, sebbene si utilizzi la stessa formula della tensione circonferenziale, la denominazione “formula di Barlow” è quasi esclusivamente adottata solo da chi si occupa di tubazioni, tanto a livello normativo, quanto nei testi tecnici; nei manuali di progettazione di apparecchi a pressione è raro che sia usata quest’espressione.

La formula di Barlow è utilizzata anche per la valutazione della pressione limite dei tubi (bursting pressure).

Per le tubazioni, gli stati limite da prendere in considerazione sono essenzialmente due: lo stato limite di servizio elastico (distorsione o collasso plastico) e lo stato limite di collasso (rottura). Lo stato limite di servizio elastico è controllato dalla resistenza allo snervamento; esso è importante in presenza di accoppiamenti filettati (per esempio, nei cosiddetti OCTG = Oil Country Tubular Goods) dove la distorsione può causare la perdita di fluido. Lo stato limite di collasso è, invece, controllato da un valore di resistenza che può approssimarsi a quello di rottura nel caso di materiali con basso esponente di incrudimento, mentre è certamente intermedio tra snervamento e rottura negli altri casi.

Per acciai con elevati valori dell’esponente di incrudimento, n, quali gli acciai inossidabili austenitici, è necessario ricorrere ad altre formulazioni più appropriate che tengano conto di questa grandezza (Zhu-Leis, Klever, Faupel, etc.). Nell’equazione che precede, ε_ys è la deformazione allo snervamento. Nel caso di acciai al carbonio si ha dunque:ε_ys = 0.2%, n ≤ 0.1, Y/T ≥ 0.745

Il calcolo della pressione di collasso (bursting, in inglese) è, tuttavia, argomento molto delicato ed esteso che non può certamente essere esaurito dai pochi cenni qui sopra, soprattutto per i materiali con esponente di incrudimento elevato.

Conclusioni

Riferimenti

Allegato - Memoria tecnica – Sulle formule di Barlow e di Mariotte >>

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