Sommario: Premessa - Combinazione delle risposte modali -  Combinazione delle risposte delle azioni nelle diverse direzioni spaziali - Descrizione delle regole di combinazione - Requisiti normativi - Confronto tra le regole di combinazione.
 
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Revisione 2022-02-26

Premessa

Nell’analisi della risposta sismica si devono considerare due tipi di combinazioni:
  1. la combinazione delle risposte modali, per ogni assegnata direzione dell’azione sismica; e
  2. la combinazione delle risposte delle azioni sismiche nelle diverse direzioni spaziali (due orizzontali tra loro ortogonali e una verticale).
Un’approfondita discussione su queste combinazioni è fornita nei Capitoli 3 (Combination of modal responses) e 4 (Response to multi-components of earthquake) del testo “Response Spectrum Method In Seismic Analysis and Design of Structures” di Ajaya Kumar Gupta (v. rif. [16.]).
Questo argomento è, ovviamente, trattato da tutte le normative sismiche, tra le quali sono qui di seguito esaminate:
  1. U.S. NRC Regulatory Guide 1.92, Revision 3 “Combining Modal Responses and Spatial Components in Seismic Response Analysis”.
  2. ASCE 4-98, “Seismic Analysis of Safety-Related Nuclear Structures and Commentary”.
  3. ASCE/SEI 7-10, “Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures”.
  4. Eurocode 8 – Design of structures for earthquake resistance – Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings – UNI EN 1998-1:2005.
  5. NTC 2008 - Norme tecniche per le costruzioni – D. M. Infrastrutture 14 gennaio 2008.

Combinazione delle risposte modali

La regola da usarsi per la combinazione delle risposte modali varia a seconda che la risposta sia periodica, rigida, oppure mista, vale a dire periodica e rigida (v. R.G. 1.92 Rev. 3).
La risposta periodica domina negli intervalli di frequenza (o periodo) in cui si ha amplificazione dello spostamento spettrale, della velocità spettrale e dell’accelerazione spettrale.
Questi intervalli corrispondono alle regioni AB, BC e CD, rispettivamente, in Figura 1 e in Figura 2.
In termini di teoria delle vibrazioni, la risposta periodica corrisponde alla fase transitoria della risposta alla sollecitazione dinamica.
La risposta rigida si manifesta nelle regioni di alta frequenza dello spettro (regioni EF e FG in Figura 1 e Figura 2).
In termini di teoria delle vibrazioni, la risposta rigida corrisponde alla fase stabile (di regime) della risposta alla sollecitazione dinamica.
La risposta mista, periodica e rigida, si ha nella regione intermedia tra quella di accelerazione spettrale amplificata e quella ad alta frequenza (regione DE in Figura 1 e Figura 2).
La Figura 1 mostra l’andamento tipico (concettuale) di uno spettro di risposta espresso in termini di velocità in funzione della frequenza (rif. a R.G. 1.92).
La Figura 2 mostra l’andamento tipico (concettuale) di uno spettro di risposta espresso in termini di accelerazione in funzione della frequenza (rif. a R.G. 1.92).Le linee tratteggiate si riferiscono al caso di spettro di risposta con due o più picchi di accelerazione (cosiddetto a picchi multipli).
Le risposte modali periodiche  di un terremoto sono combinate con una delle seguenti regole:
-        SRSS, acronimo di “Square Root of Sum of Squares”;
-        CQC, acronimo di  “Complete Quadratic Combination”.
Secondo le norme statunitensi e l’Eurocodice 8 (EC8-1, paragrafo 4.3.3.3.2), la scelta del metodo più appropriato dipende dal grado di separazione o di indipendenza (non correlazione) delle frequenze principali; mentre l’NTC 2008 consente solo l’uso del metodo CRC (v. paragrafo 7.3.3.1).
In generale, se le frequenze dei modi sono sufficientemente separate è ammessa come valida la combinazione SRSS. Si noti che l’Eurocodice usa l’espressione “i modi sono indipendenti” al posto di quella “non ravvicinati” adottata negli Stati Uniti, ma il concetto è il medesimo.
Qualora siano presenti dei modi con frequenze ravvicinate, Il metodo SRS non è applicabile e si deve ricorrere al CQC.
Quale sia il criterio per giudicare se dei modi sono o meno ravvicinati è materia di discussione, talché ogni standard fornisce una sua regola leggermente diversa dagli altri.
Secondo la R.G. 1.92 I modi sono da considerarsi ravvicinati:
  1. Se lo smorzamento critico è ≤ 2%, quando le frequenze vicine differiscono l’un l’altra per meno del 10%, cioè, dati f1 < f2 , se si ha f2  ≤ 1.1 ∙ f1.
  2. Se lo smorzamento critico è > 2%, quando le frequenze vicine non differiscono l’un l’altra per più di cinque volte il valore dello smorzamento critico; cioè, per uno smorzamento critico del 4% e f1 < f2, quando si ha f2≤ 1.20 ∙ f1; oppure, per uno smorzamento critico dell’8%, quando si ha f2  ≤  1.40 ∙ f1
​Secondo l’EC8-1, paragrafo 4.3.3.3.2 le risposte in due modi vibrazionali i e j possono essere considerate indipendenti l’una dall’altra se i periodi associati Ti e Tj, tali che Ti < Tj, soddisfano la condizione: Ti≤ 0.9 ∙ Tj. Questa condizione è del tutto equivalente alla prima della R.G. 1.92 (essendo 1/1.1 ≈ 0.9), poiché, usando le frequenze al posto dei periodi, la condizione diventa: fi  ≥  1.1 ∙  fj , dove ponendo fi  ≡  f2 e fj  ≡  f1, giacché fi  >  fj , si vede che questa condizione è, pertanto, equivalente a quella f2  ≥  1.1 ∙ f1 stabilita dalla R.G. 1.92.
La definizione dell’EC8-1 è più restrittiva di quella della R.G. 1.92 giacché non considera l’effetto dello smorzamento critico.
Le risposte rigide e le componenti rigide delle risposte si combinano algebricamente.
 

Combinazione delle risposte delle azioni nelle diverse direzioni spaziali

Gli effetti spaziali di un terremoto sono combinati con una delle seguenti regole:
  • SRSS o SRSS3 (rif. [11.]);
  • CQC3 (due componenti) o GCQC3 (tre componenti) (rif. [10.], [11.]);
  • 100%-30%-30% (ASCE 7-10);
  • 100%-40%-40% (R.G. 1.92).
 

Descrizione delle regole di combinazione

Come è affermato da Gupta nel rif. [16.], pagina 3-9, la Combinazione Quadratica Completa  (CQC) è stata proposta da Wilson, Der Kiureghian e Bayo nel 1981 nell’articolo [23.]; mentre il metodo della Radice Quadrata della Somma dei Quadrati (SRSS) è stato proposto nel 1953 da Goodman, Rosenblueth e Newmark (v. pagina 3-2 di rif. [16.] e lr pubblicazioni originali rif. [30.] e [31.]).
La regola della percentuale è stata inizialmente proposta da da Newmark e Rosenblueth. (ref. [30.] and [31.]).
Alcune normative di progettazione (come UBC 97, Caltrans 90, ASCE 7-10, Eurocodice 8 e NTC 2008) per edifici e ponti usano la regola 100%-30%-30%.
Altri codici di progettazione (come ASCE 4-86, ATC-32 e R.G. 1.92) adottano la regola 100%-40%-40%.
 

Requisiti normativi

La R.G. 1.92 Rev. 3 (rif. [1.]) con la posizione regolamentatrice C.2 stabilisce che l’uso come metodo di combinazione della regola percentuale 100-40-40 proposta da Newmark (v. rif.  [22.]) è un’accettabile alternative al metodo SRSS per la combinazione delle componenti spaziali.
Nella pubblicazione rif. [22.]), Newmark descrive il metodo proposto in questo modo:
“In alternativa, si può usare il procedimento di prendere il 100% delle forze sismiche in una direzione, combinate col 40% di quelle nelle altre due direzioni ortogonali, e alla fine sommare i valori assoluti dei risultati, al fine di ottenere le massime forze risultanti in un elemento o in un punto in una particolare direzione, e infine calcolare le tensioni prodotte dall’effetto combinato. In generale, questo metodo alternativo è leggermente conservativo nella maggior parte dei casi ed è perfettamente adeguato poiché il livello di conservatività è modesto.”
Per le analisi a spettro di risposta (RS), la R.G. 1.92 Rev. 3 argomenta che la regola percentuale 100-40-40 “è la sola alternativa al metodo SRSS per la combinazione degli effetti spaziali considerata significativa nell’industria nucleare “. Rispetto al metodo SRSS, il metodo 100-40-40 “produce stimate peggiorative della massima risposta…sino al 16%, mentre le sotto stime sono intorno all’1%”.
Requisiti di Eurocodice 8.
In EN 1998-1:2004 (rif. [24.]), paragrafo 4.3.3.3.2, la norma richiede che, quando le risposte modali principali possono essere considerate tra loro indipendenti, la risposta sismica si ottiene applicando il metodo SRSS ai modi; ma, se i modi non possono essere considerati indipendenti, si raccomanda il metodo CQC.
La combinazione degli effetti delle componenti sismiche spaziali è discussa nel paragrafo 4.3.3.5. Nel punto (3) del paragrafo 4.3.3.5.1 si afferma che la regola percentuale 100-30-30  è una valida alternativa al metodo SRSS discusso nel precedente punto (2). La regola percentuale 100-30-30 è proposta anche al punto (4) del paragrafo 4.3.3.5.2 dove si considera anche la componente verticale dell’azione sismica.
Requisiti di NTC 2008. (ref. [25.])
Gli effetti di ciascun modo (per una data direzione dell’azione sismica) devono essere combinati con la regola CQC (v. paragrafo 7.3.3.1).
Gli effetti dovuti alle diverse direzioni dell’azione sismica devono essere combinati con la regola percentuale 100-30-30 (v. paragrafo 7.3.5).
Requisiti di ASCE 7-10.
Nel paragrafo 12.5.3.a. “Procedura di combinazione ortogonale” del rif. [26.] si legge quanto segue:
“Si considera che il requisito della Sezione 12.5.1 sia soddisfatto se gli elementi strutturale e le fondazioni  sono progettati per il 100 percento delle forze in una direzione più 30% delle stesse forze nella direzione perpendicolare”. Si adotta perciò la regola percentuale 100-30.
Riguardo al numero dei modi, nel paragrafo 12.9,1 la norma richiede che “L’analisi includa un numero di modi tale che la massa totale partecipante in ciascuna delle direzioni orizzontali ortogonali sia superiore al 90% della massa totale…”
Per ciò che riguarda la combinazione dei modi, il paragrafo 12.9.3 richiede l’uso del metodo SRSS, oppure del CQC o del CQC4 (che sarebbe il CQC modificato da ASCE 4), o un approccio equivalente approvato. Il metodo CQC o CQC-4 deve essere usato quando i modi ravvicinati sono importanti.
Nel Capitolo 15 che tratta le strutture non abitative non sono fornite altre regole.
Requisiti di ASCE 4-98 (rif. [27.])
I paragrafi 3.2.7.1.2 “Combinazione delle componenti spaziali” e 3.2.7.2 “Combinazione delle componenti spaziali nel caso di analisi nel dominio del tempo” adottano la regola percentuale 100-40-40 come alternativa alla SRSS nelle (Eq. 3.2-26) e (Eq. 3.2-30) che sono identiche anche se la prima si usa per l’analisi a spettro di risposta e la seconda per l’analisi nel dominio del tempo. Le equazioni sono le seguenti:
R = [± R1± 0,4 ∙ R2± 0,4 ∙ R3]
oppure,
R = [± 0,4 ∙ R1± R2± 0,4 ∙ R3]
oppure,
R = [± 0,4 ∙ R1± 0,4 ∙ R2± R3]
[Si deve considerare un totale di  3 x 23 = 24 combinazioni; le equazioni qui sopra hanno il primo segno ± all’interno delle parentesi quadrate e non al di fuori come indicato da ASCE 4-98].
Il paragrafo C3.2.7.1.2 “Combinazione delle componenti” fornisce una sintetica illustrazione delle basi della regola percentuale 100-40-40 adottata nell’equazione 3.3-26 dello standard. “… Essa si fonda sull’osservazione che il massimo incremento della risultante di due forze ortogonali si ha quando queste sono uguali. Il massimo valore è 1.4 [= √(2)] volte una delle due componenti. La conseguenza è che si può dimostrare che la regola percentuale 100-40-40 è, in generale, più cautelativa della SRSS ed è pertanto ragionevole usarla stanti le incertezze di base coinvolte…”
[Se si hanno due componenti sismiche che danno la stessa risposta R1 = R2, la risposta combinata è √(2) ∙ R1  ≈ 1.4 ∙ R1; nel caso di tre componenti uguali  R1 = R2 = R3, la risposta combinata è √(3) ∙ R1  ≈ 1.73 ∙ R1 < R1 + 0.4 ∙ R2 + 0.4 ∙ R3 = 1.8 ∙ R1].
Requisiti di ASCE 43-05 (rif. [28.])
Non c’è alcun criterio specifico sulla combinazione delle componenti spaziali, fatta eccezione del fatto che nel comma (f) della Sezione 2.4 si stabilisce:
“Per essere considerati statisticamente indipendenti, i coefficienti di correlazione direzionale tra coppie di dati non devono  superare il valore di 0.30 (con riferimento alla definizione adottata nello standard). Lo scorrimento dell’istante di partenza di un dato accelerogramma non genera un nuovo accelerogramma. Se ci si aspetta che la struttura fornisca una risposta disaccoppiata, allora è richiesta una sola analisi nel dominio del tempo. Allora, l’analisi sismica per ciascuna direzione ortogonale può essere svolta separatamente combinando alla fine i risultati con la radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS).”
Requisiti di UBC-97
Nella Sezione 1633.1 si stabilisce quanto segue:
“Il requisito di tenere in conto gli effetti ortogonali può essere soddisfatto progettando questi elementi per il 100% della forza sismica di progetto in una direzione più il 30% della stessa forza applicata nella direzione perpendicolare.”
In alternativa si può usare la regola SRSS.
Requisiti di IBC-2015
Nessun requisito specifico.
 

Confronto tra le regole di combinazione

Secondo il rif. [11.]:
“ il metodo SRSS3 è la forma semplificata del metodo CQC3. Il metodo SRSS3 conduce a errori importanti se i periodi propri della struttura sono ravvicinati, vale a dire i coefficienti di correlazione modale della struttura sono alti...Il metodo SRSS è pratico nell’analisi strutturale; … molti codici sismici lo adottano come metodo di combinazione normale nel caso di risposta sismica multimodale. … i risultati delle regole delle percentuali sono abitualmente cautelativi, e ragionevoli nella maggior parte dei casi.”
Nell’articolo “Multi-Component Demands from Instrumental Data: Assessment of Seismic Provisions” (di Dionisio Bernal, Lester Silfa and Anshuman Kunwar – Civil and Environmental Engineering Department, Center of Digital Signal Processing, Northeastern University, Boston, MA) del [2.]si discutono le regole di combinazione SRSS e 30% (o 40%).
Gli autori argomentano che “l’azione simultanea dei momenti bidirezionali è in questo caso (una colonna in una struttura con telai ortogonali) irragionevolmente conservativa.”
Quest’affermazione è sostenuta con una dettagliata discussione su questo aspetto sviluppata da Menum e Der Kierughian negli anni 1998 e 2000.
La regola percentuale 100%-30%-30% è citata anche nel rif. [13.] pagina 190.
Nel rif. [16.], Gupta discute in modo approfondito la combinazione delle risposte modali (Capitolo 3) e la risposta dei terremoti multi-componenti (Capiotlo 4) introducendo il metodo SRSS (pubblicato nel 1953 come regola di Goodman-Rosenblueth-Newmark, v. rif. [30.] e [31.]), il metodo CQC (fornito nell’equazione di Der Kiureghian, v. rif. [23.]), e il metodo della somma assoluta.
Il metodo percentuale non è mai esplicitamente menzionato, ma le basi teoriche di esso sono fornite nel Capitolo 4, dove la sovrapposizione di  i modi è data in forma lineare con coefficienti Ci  che hanno valori che variano con i modi ma possono essere approssimati dal valore 0,41 (pagina 4-15) che, se applicato al secondo modo, conduce a un errore non superiore all’8%. Questa discussione si riferisce, tuttavia, alla combinazione modale e non a quella direzionale, anche se il titolo del capitolo tratta con “La risposta ai terremoti multi-componenti”.
Il riferimento [17.], pagina 41, considera solo i metodi SRSS e CQC.
Nel rif. [18.], pagina 241, si introduce la regola 100%-30%-30% come ammessa da EC8-1/2004 [Mia nota: L’autore cita il paragrafo 5.7.3.4, in realtà EC8-1 discute questo argomento nei paragrafi 4.3.5.3.1 e 4.3.5.3.2], accettata da BSSC 2003 (BSSC = Building Seismic Safety Council) e SEAOC 1999 (SEAOC = Structural Engineers Association of California). Secondo questo testo, questo metodo dà un errore che è al massimo del 4.4% a favore di sicurezza e dell’8.1% a sfavore.
Gli autori mettono in evidenza come l’applicazione di questa regola al pur semplice caso di una colonna conduce all’analisi di 256 combinazioni a causa delle tre forze (assiale e due momenti) da considerare con i segni + e – e alle due azioni simiche orizzontali.
Nel rif. [19.], Capitolo 15, pagine 15-12, Wilson discute gli effetti dell’utilizzo della regola percentuale 100%-30% per la combinazione degli effetti ortogonali nell’analisi spettrale. Secondo Wilson “… Nel caso di strutture regolari e direzioni principali chiaramente identificabili, questa regola percentuale conduce approssimativamente agli stessi risultati del metodo SRSS …”
Il testo offre anche una discussione sul metodo CQC e un confronto del metodo SRSS con la regola 100/30 (pagine 15-16).
Nel rif. [20.], l’autore sottolinea (v. pagina 14) che nell’analisi a spettro di risposta la regola percentuale si applica solo alla combinazione degli effetti spaziali, mentre il metodo SRSS e il CQC3 si applicano anche alla combinazione modale.
A pagina 30 sono fornite alcune raccomandazioni:
  • Se la struttura è regolare, l’adozione della regola 100-30 va bene;
  • Se la struttura è irregolare, la regola 100-30 può essere conservativa per spettri di risposta con massima rotazione.
A pagina 36, tuttavia, l’autore afferma che “… il metodo 100+30 può essere non conservativa per strutture regolari…ed è praticamente certo che è non cautelativo per strutture irregolari, sistemi non ortogonali, …”
Questa pubblicazione  fornisce anche (a pagina 49) una breve disamina della procedura di combinazione direzionale 100-30.
Wallace nel rif. [21.], slide 59, presenta I requisiti di UBC-97 che nell’articolo 1633.1 stabilisce che “Per alcune strutture (irregolari), si devono considerare gli effetti ortogonali: 100% delle forze sismiche in una direzione, 30% nella direzione perpendicolare.”  In realtà, come discusso in precedenza, il requisito di UBC 97 è leggermente diverso.